Тема 7. Производная и первообразная
-
Задание 1 Геометрический смысл производной касательная
На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой
. Найдите значение производной функции f(x) в точке .Разбор задания СвернутьПояснение
1. Производной функции f в точке
называют предел
Значение производной в точке
равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.2. На графике изображена касательная в точке
. Заметим, что угол наклона прямых исчисляется относительно положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки. Вычислим тангенс угла наклона касательной с помощью графика.
Заметим, что касательная проходит через точки с координатами A (2, −2) и C (−6, 0). Построим прямоугольный треугольник c вершинами острых углов A и C и вершиной прямого угла B — проекцией точки A на ось абсцисс. Угол наклона касательной равен углу, смежному с углом ACB («зеленый» угол). Значит,
равна тангенсу угла, смежного с углом ACB. Воспользуемся формулой приведения
Получим, что
3. Тангенсом угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего углу катета к прилежащему, поэтому
Пользуясь графиком, вычислим, что AB = 2, CB = 8.
Ответ: −0,25
-
Задание 1 Первообразная
На рисунке изображён график функции y = F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (−3, 6). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2, 5].
Разбор задания СвернутьПояснение
1. По определению первообразной на интервале (−3, 6) выполнено равенство:
Таким образом, f(x) — производная функции, изображенной на графике.
2. Точки, в которых производная непрерывной на интервале функции равна 0, делят этот интервал на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак (а сама функция на этих интервалах монотонна). Если на двух соседних таких интервалах знаки производной разные, то точка, разделяющая интервалы, — точка экстремума.
По графику видно, что в точках −2 и 5 функция f(x) положительна (F(x) возрастает в окрестности этих точек), поэтому исключим их из рассмотрения: рассмотрим график на интервале (−2, 5).
На этом интервале имеем 10 точек экстремума. Убедимся, рассмотрев каждый из монотонных интервалов, полученных с помощью выделения точек экстремума, что больше нет точек, в которых f(x) = 0: в окрестности любой точки каждого интервала F(x) либо возрастает, либо убывает.
Ответ: 10
-
Задание 1 Применение производной к исследованию функций
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−9, 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 10.
Разбор задания СвернутьПояснение
1. Угол наклона прямых исчисляется относительно положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки. Так как касательные к графику функции в искомых точках параллельны прямой y = 10, то углы наклона этих касательных равны углу наклона прямой y = 10, т. е. равны нулю. Тангенс нуля равен нулю, значит, и тангенсы углов наклона касательных равны нулю.
Заметим, что значение производной в некоторой точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Поэтому в искомых точках производная функции равна нулю.
2. Заметим исходя из данного графика, что функция f(x) непрерывна на интервале (−9, 8). Точки, в которых производная непрерывной на интервале функции равна 0, делят этот интервал на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак (а сама функция монотонна). Если на двух соседних таких интервалах знаки производной разные, то точка, разделяющая интервалы, — точка экстремума. Точек экстремума на графике шесть.
Убедимся, рассмотрев каждый из монотонных интервалов, полученных с помощью выделения точек экстремума, что больше нет точек, касательная в которых имела бы угол наклона 0.
Ответ: 6
-
Задание 2 Геометрический смысл производной касательная
На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой
. Найдите значение производной функции f(x) в точке .Разбор задания СвернутьПояснение
1. Производной функции f в точке
называют предел
Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
2. На графике изображена касательная в точке
. Заметим, что угол наклона прямых исчисляется относительно положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки. Вычислим тангенс угла наклона касательной с помощью графика.
Заметим, что касательная проходит через точки с координатами A (2, 4) и C (−6, 2). Построим прямоугольный треугольник c вершинами острых углов A и C и вершиной прямого угла B — проекцией точки A на прямую y = 2. Угол наклона касательной равен углу ACB этого треугольника. Значит,
равна тангенсу угла ACB:
3. Тангенсом угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего углу катета к прилежащему, поэтому
Пользуясь графиком, вычислим, что AB = 2, CB = 8.
Ответ: 0,25
-
Задание 2 Первообразная
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)−F(3), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Разбор задания СвернутьПояснение
1. Отметим, что f(x) — непрерывная функция на отрезке [3, 5]. По теореме Ньютона-Лейбница выполнено равенство
где
— определенный интеграл функции f(x) на отрезке [3, 5].2. Заметим, что f(x) принимает на отрезке [3, 5] только положительные значения, поэтому
равен площади фигуры, ограниченной графиком функции f(x), осью x и вертикальными прямыми x = 3, x = 5 (см. рисунок).
Обозначим площадь получившейся фигуры S.
3. Вычислим S. Отметим, что левее точки x = 4 график функции f(x) совпадает с прямой y = 2, параллельной оси x. Поэтому фигура, площадь которой требуется найти, является трапецией, высота которой равна 2. Основания трапеции — это отрезок оси x длины 2 и отрезок прямой y = 2 длины 1. Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:
Ответ: 3
-
Задание 2 Применение производной к исследованию функций
На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (−9, 8). В какой точке отрезка [−8, −4] f(x) принимает наименьшее значение?
Разбор задания СвернутьПояснение
1. Из графика видно, что производная функции f(x) определена на всем отрезке [−8, −4]. Из этого следует, что сама функция f(x) на всем отрезке [−8, −4] непререрывна.
Непрерывная на отрезке функция принимает свое наименьшее значение на этом отрезке либо в концах отрезка, либо в одной из точек локального минимума, принадлежащих этому отрезку.
2. Точки локального минимума функции находятся среди нулей производной.
Обратим внимание, что на отрезке [−8, −4]
f′(x) < 0,
то есть на этом отрезке функция f(x) монотонно убывает и не имеет локальных экстремумов.
3. Монотонно убывающая на отрезке функция принимает свое наименьшее значение на правом конце отрезка. Поэтому f(x) принимает наименьшее значение на отрезке [−8, −4] в точке −4.
Ответ: −4
-
Задание 3 Геометрический смысл производной касательная
Прямая y = −3x − 8 является касательной к графику функции
. Найдите a.Разбор задания СвернутьПояснение
1. Прямая y(x) = kx + b является касательной к графику функции f(x) в точке
тогда и только тогда, когда выполняются два условия:1) значения прямой y(x) и функции f(x) совпадают в точке x_{o}:
2) угловой коэффициент прямой y = kx + b равен производной функции f(x) в точке
: 
По условию уравнение прямой y = −3x − 8, поэтому k = −3. Функция имеет
вид
. Вычислим ее производную:
С учетом последнего равенства перепишем оба условия в виде системы:
2. Рассмотрим первое уравнение системы:
Вычтем из обеих частей равенства 27:
Разделим обе части уравнения на 2:
3. Рассмотрим второе уравнение системы:
Прибавим к обеим частям уравнения
:
Вычтем из обеих частей уравнения 7:
4.
Подставим значение
из первого уравнения системы во второе:
Разделим обе части уравнения на 15:
Подставим
в первое уравнение системы: a · (−1) = −15.Отсюда a = 15.
Ответ: 15
-
Задание 3 Первообразная
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция
— одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.Разбор задания СвернутьПояснение
1. Фигура, площадь которой требуется найти, ограничена графиком функции f(x), осью x и вертикальными прямыми x = −11, x = −9. Обозначим искомую площадь S.
Отметим, что f(x) принимает на отрезке [−11, −9] только положительные значения, поэтому площадь S равна определенному интегралу функции f(x) на отрезке [−11, −9]:
2. По теореме Ньютона-Лейбница выполнено равенство
Вычислим разность F(−9) − F(−11). По условию
Ответ: 12
-
Задание 3 Применение производной к исследованию функций
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−5, 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6.
Разбор задания СвернутьПояснение
1. Угол наклона прямых исчисляется относительно положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.
Так как касательные к графику функции в искомых точках параллельны прямой y = 6, то углы наклона этих касательных равны углу наклона прямой y = 6, т. е. равны нулю. Тангенс нуля равен нулю, значит, и тангенсы углов наклона касательных равны нулю.Заметим, что значение производной в некоторой точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Поэтому в искомых точках производная функции равна нулю.
2. Заметим, исходя из данного графика, что функция f(x) непрерывна на интервале (−5, 5). Точки, в которых производная непрерывной на интервале функции равна 0, делят этот интервал на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак (а сама функция монотонна). Если на двух соседних таких интервалах знаки производной разные, то точка, разделяющая интервалы, — точка экстремума. Точек экстремума на графике четыре.
Убедимся, рассмотрев каждый из монотонных интервалов, полученных с помощью выделения точек экстремума, что больше нет точек, касательная в которых имела бы угол наклона 0.
Ответ: 4
-
Задание 4 Геометрический смысл производной касательная
На рисунке изображён график функции y = f(x) и семь точек на оси абсцисс:
В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?Разбор задания СвернутьПояснение
Заметим, что значение производной в некоторой точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Угол наклона прямых исчисляется относительно положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.
Касательные к графику функции в точках
очевидно возрастают, поэтому производные функции f(x) в этих точках положительны.Касательная к графику функции в точке
очевидно убывает, поэтому производная функции f(x) в этой точке отрицательна.Таким образом, производная функции f(x) > 0 всего в шести точках.
Ответ: 6
-
Задание 4 Применение производной к исследованию функций
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−1, 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Разбор задания СвернутьПояснение
1. Выясним промежутки, на которых производная принимает отрицательные значения.
Заметим исходя из данного графика, что функция f(x) непрерывна на интервале (−1, 12).
Точки, в которых производная непрерывной на интервале функции равна 0, делят данный интервал на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак: если функция на интервале f(x) убывает, то ее производная отрицательна, если возрастает, то ее производная положительна.
Среди этих точек на графике легко выделить точки максимума и минимума.
2. Выделим на графике точки максимума и минимума (точки экстремума) и разделим график на промежутки с границами в этих точках.
Точек экстремума на графике пять: 0, 1, 2 < a < 3, 6 и 9.Пять точек экстремума делят область определения функции f(x) — интервал (−1, 12) — на шесть промежутков:
(−1, 0), (0, 1), (1, a), (a, 6), (6, 9), (9, 12).
Проверим, рассмотрев каждый из полученных промежутков, что больше нет точек, в которых производная была бы равна нулю.
Если производная равна нулю в некоторой точке, то касательная к графику функции в этой точке параллельна оси x. Таких точек на полученных промежутках нет.Таким образом, промежутки (−1, 0), (0, 1), (1, a), (a, 6), (6, 9), (9, 12) являются промежутками монотонности функции f(x).
3. Выберем среди промежутков монотонности промежутки убывания:
(−1, 0), (1, a), (6, 9).
Выберем на этих интервалах целые точки:
— на интервале (−1, 0) нет целых точек;
— на интервале (1, a) одна целая точка: 2;
— на интервале (6, 9) две целых точки: 7 и 8.Всего три целых точки.
Ответ: 3
-
Задание 5 Геометрический смысл производной касательная
Прямая y = 7x − 5 параллельна касательной к графику функции
. Найдите абсциссу точки касания.Разбор задания СвернутьПояснение
1. Если две прямые параллельны, то угловые коэффициенты функций, графиками которых являются эти прямые, равны. Угловой коэффициент прямой y = 7x−5 равен 7. Поэтому угловой коэффициент касательной к графику функции в искомой точке равен 7.
2. Прямая y(x) = kx + b является касательной к графику функции f(x) в точке
тогда и только тогда, когда выполняются два условия:1) значения прямой y(x) и функции f(x) совпадают в точке
2. угловой коэффициент прямой y = kx + b равен производной функции f(x) в точке
Требуется найти точку
По условию
Вычислим ее производную:
Перепишем условие 2 с учетом того, что угловой коэффициент касательной равен 7:
Вычтем из обеих частей равенства 6:
Выразим
разделив обе части уравнения на 2:
Ответ: 0,5
-
Задание 5 Применение производной к исследованию функций
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−2, 21). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [2, 19].
Разбор задания СвернутьПояснение
1. Точки минимума функции находятся среди нулей ее производной. Отметим по графику, что производная f′(x) принимает нулевые значения в четырех точках: 3, 6, 16 и 18. Все они принадлежат отрезку [2, 19]. Выясним, какие из них являются точками минимума.
2. Если некоторая точка x0 является точкой минимума функции f(x), то функция в этой точке меняет убывание на возрастание, а производная функции меняет знак с «минуса» на «плюс». Этому свойству удовлетворяют точки 3 и 16. Всего две точки.
Ответ: 2 -
Задание 6 Применение производной к исследованию функций
На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены точки 1, 1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Разбор задания СвернутьПояснение
1. Заметим, что значение производной в некоторой точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Угол наклона прямых исчисляется относительно положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.Касательные к графику функции в точках 1 и 4, очевидно, возрастают, поэтому производные функции f(x) в этих точках положительны. Касательные к графику функции в точках 1 и 2, очевидно, убывают, поэтому производные функции f(x) в этих точках отрицательны.
2. Угол наклона по своему абсолютному значению больше в точке 1. Поэтому абсолютное значение тангенса угла наклона касательной в этой точке больше. Значит сам тангенс меньше и, соответственно, значение производной в точке 1 меньше.
Ответ: 1.